Question

在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF．
（1）如圖，當點O在BC邊中點時，試說明AB=AC；

（2）如圖，當點O在△ABC內部時，且OB=OC，試說明AB與AC的關系；

（3）當點O在△ABC外部時，且OB=OC，試判斷AB與AC的關系．（畫出圖形，寫出結果即可，無須說明理由）

Answer 1

（1）證明：∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．

（2）解：AB=AC．
證明：同（1）可證得Rt△OBE≌Rt△OCF；
∴∠OBE=∠OCF；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB；
∴∠ABC=∠ACB；
∴AB=AC．

（3）解：①當BC的垂直平分線與∠A的平分線重合時，AB=AC成立；
②當BC的垂直平分線與∠A的平分線不在一條直線上時，結論不成立．（圖形不唯一，符合題意，畫圖規范即可）

分析：（1）證△BOE≌△COF，可得∠B=∠C，通過等角對等邊，得出AB=AC；
（2）與（1）類似，在證得△BOE≌△COF后，得∠OBE=∠OCF，OB=OC；則∠OBC=∠OCB，可證得∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊得出AB=AC；
（3）由前兩問的解答過程可知，BC的垂直平分線與∠A的角平分線重合時，AB=AC的結論才成立（等腰三角形三線合一）．
點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質，以及等腰三角形的判定．