Question

閱讀下面的材料：

如圖（1），在以AB為直徑的半圓O內有一點P，AP、BP的延長線分別交半圓O于點C、D．

求證：AP?AC+BP?BD=AB²．

證明：連結AD、BC，過P作PM⊥AB，則∠ADB=∠AMP=90^ｏ，

∴點D、M在以AP為直徑的圓上；同理：M、C在以BP為直徑的圓上．

由割線定理得： AP?AC=AM?AB，BP?BD=BM?BA，

所以，AP?AC+BP?BD=AM?AB+BM?AB=AB?（AM+BM）=AB²．

　當點P在半圓周上時，也有AP?AC+BP?BD=AP²+BP²=AB²成立，那么：

（1）如圖（2）當點P在半圓周外時，結論AP?AC+BP?BD=AB²是否成立？為什么？

（2）如圖（3）當點P在切線BE外側時，你能得到什么結論？將你得到的結論寫出來．

Answer 1

解：（1）成立．                       

 證明：如圖（2），∵∠PCM=∠PDM=90⁰，

∴點C、D在以PM為直徑的圓上，

∴AC?AP=AM?MD，BD?BP=BM?BC，

∴AC?AP+BD?BP=AM?MD+BM?BC，

由已知，AM?MD+BM?BC=AB²，

∴AP?AC+BP?BD=AB²．

（2）如圖（3），過P作PM⊥AB，交AB的延長線于M，連結AD、BC，

則C、M在以PB為直徑的圓上，∴AP?AC=AB?AM，①

D、M在以PA為直徑的圓上，∴BP?BD=AB?BM，②       

由圖像可知：AB=AM-BM，③

由①②③可得：AP?AC-BP?BD=AB?（AM-BM）=AB²．