Question

如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，取BC的中點E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記為S₁，取BE的中點E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF．得到四邊形E₁D₁FF₁，它的面積記作S₂，照此規律，則S₂₀₁₂=

3

24025

．

Answer 1

分析：求出△ABC的面積是

3

4

，求出DE是三角形ABC的中位線，根據相似三角形的性質得出

S△CDE

S△CAB

=(

DE

AB

)2=

1

4

，求出S_△CDE=

1

4

×

3

4

，S_△BEF=

1

4

×

3

4

，求出S₁=

1

2

×

3

4

，同理S₂=

1

2

×S_△BEF=

1

2

×

1

4

×

3

4

，S₃=

1

2

×

1

4

×

1

4

×S₄=

1

2

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

3

4

，推出S₂₀₁₂=

1

2

×

1

4

×

1

4

×…×

1

4

×

3

4

（2011個

1

4

），即可得出答案．

解答：解：∵BC的中點E，ED∥AB，
∴E為BC中點，
∴DE=

1

2

AB，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

S△CDE

S△CAB

=(

DE

AB

)2=（

1

2

）²=

1

4

，
∵△ABC的面積是

1

2

×1×

3

2

=

3

4

∴S_△CDE=

1

4

×

3

4

，
推理

S△BEF

S△BAC

=

1

4

，
∴S_△BEF=

1

4

×

3

4

∴S₁=

3

4

-

1

4

×

3

4

-

1

4

×

3

4

=

1

2

×

3

4

，
同理S₂=

1

2

×S_△BEF=

1

2

×

1

4

×

3

4

，
S₃=

1

2

×

1

4

×

1

4

×

3

4

S₄=

1

2

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

3

4

，
…，
S₂₀₁₂=

1

2

×

1

4

×

1

4

×…×

1

4

×

3

4

（2011個

1

4

），
=

2 3

42013

=

3

24025

，
故答案為：

3

24025

．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質的應用，解此題的關鍵是總結出規律，題目比較好，但是有一定的難度．