Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=

4

3

，點P在△ABC內，且PB=PC，點M是斜邊AB上的中點，直線PM與邊BC的交點為D（如圖），點Q是直線PM上的一動點．
（1）試判斷直線PM與AC的位置關系，并證明你的結論；
（2）當Q在△ABC的外部時，已知由點Q、B、D組成的三角形與△ABC相似，求QM的長；
（3）當Q不在△ABC的邊上時，設BQ=x，△BQM的面積為y，請直接寫出y與x的函數關系式及函數的定義域．

Answer 1

分析：（1）連接CM．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到BM=CM，結合PB=PC，可以根據到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，則PM垂直平分BC，從而PM∥AC；
（2）根據銳角三角函數的知識求得AC和BC的長，然后分三種情況考慮，再根據相似三角形的性質求解；
（3）要表示△BQM的面積，則以QM為底，高是2．根據勾股定理即可表示QM的長．

解答：解：（1）PM∥AC．理由如下：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，點M是斜邊AB上的中點，
∴BM=CM，
又PB=PC，
∴PM垂直平分BC，
∴PM∥AC；

（2）①當點Q在DM的延長線上時，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=

4

3

，
∴AC=3，BC=4．
要使△QBD∽△BAC，
則需

BD

AC

=

QD

BC

，
即

2

3

= 

QD

BC

，
即QD=

8

3

，
又DM=

1

2

AC=1.5，
∴QM=QD-DM=

7

6

；
②當點Q在MD的延長線上時，
若使△QBD∽△ABC，則

QD

AC

=

BD

BC

，
即

QD

3

=

2

4

，
即QD=

3

2

，
則QM=QD+DM=3；
若使△QBD∽△BAC，則

QD

BC

=

BD

AC

，
即

QD

4

=

2

3

，
即QD=

8

3

，
則QM=QD+DM=

25

6

．

（3）當點Q在DM的延長線上時，
則QM=

x2-4

-1.5，
則y=

x2-4

-1.5（x＞2.5）；
當點Q在DM上時，則
y=QM=1.5-

x2-4

（2＜x＜2.5）；
當點Q在MD的延長線上時，
則y=QM=1.5+

x2-4

（x＞2）．

點評：此題綜合考查了解直角三角形的知識、相似三角形的性質、直角三角形的性質等，綜合性較強．