Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是邊所在直線上的點，，且交正方形外角的平分線于點.

（1）當點在線段中點時（如圖①），易證，不需證明；

（2）當點在線段上（如圖②）或在線段延長線上（如圖③）時，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出你的猜想，并選擇圖②或圖③的一種結論給予證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析.

【解析】

（1）圖①在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，證明△AME≌△BCF，從而可得到AE=EF；

（2）圖②在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，證明△AME≌△BCF，從而可得到AE=EF；圖③在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE，然后證明△ANE≌△ECF，從而可得到AE=EF．

解：在上取一點，使，連接.

∴.

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∴.

∵是外角的平分線，

∴.

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∴.

∵，，

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∴.

∴.

（2）圖②結論：.圖③結論：.

圖②證明：如圖②，在上取一點，使，連接.

∴.

∴.

∴.

∵是外角的平分線，

∴.

∴.

∴.

∵，，

∴.

∴.

∴.

圖③證明：如圖③，在的延長線上取一點，使，連接.

∴.

∴.

∵四邊形是正方形，

∴.

∴.

∴.

∴.

∴.