Question

通過實驗研究，專家們發現：初中學生聽課的注意力指標數是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持平穩的狀態，隨后開始分散．下圖是學生注意力指標數y隨時間x（分鐘）變化的函數的近似圖象．（y越大表示學生注意力越集中，且圖象中的三部分都是線段）
（1）注意力最集中那段時間持續了幾分鐘？
（2）當0≤x≤10時，求注意力指標數y與時間x之間的函數關系式；
（3）一道數學競賽題，需要講解23分鐘，問老師能否經過適當安排使學生在聽這道題時注意力的指標數都在34以上？

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象即可得出在第10分鐘到第20分鐘，學生注意力最集中；
（2）由0≤x≤10圖象上的兩點坐標求出直線的關系式即可；
（3）由20≤x≤40圖象上的兩點坐標求出一次函數的關系式，分別將y=34代入求出x的值即可求出注意力的指標數都在34以上的時間．

解答：解：（1）根據函數圖象可知，在第10分鐘到第20分鐘，注意力最集中那段時間持續了20-10=10分鐘；

（2）設0≤x≤10時的函數關系式為y=kx+b，
∵圖象直線過（0，20），（10，48）點，
∴

b=20 10k+b=48

，
解得：

b=20 k= 14 5

∴y=

14

5

x+20，（0≤x≤10）．

（3）由圖象知，當20≤x≤40時，
直線y=ax+c經過（（20，48），（30，38）點，
∴

20a+c=48 30a+c=38

，
解得：

a=-1 c=68

，
∴y=-x+68，
當0≤x≤10時，令y=34，得34＜

14

5

x+20，解得：x＞5；
當20≤x≤40時，令y=34，得34＜-x+68，解得x＜34．
∴5＜x＜34，
∵34-5=29＞23，
∴老師可以通過適當的安排，在學生的注意力指標數在34以上時，講授完這道數學綜合題．

點評：此題主要考查了一次函數的應用和待定系數法求一次函數解析式，綜合性強，把一次函數與實際問題融合在一起，并與高中的分段函數相聯系，起到承前啟后的作用．