Question

如圖，在中，∠C=90^。，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB邊上且。

（1）判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關系，并說明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求△DBE外接圓的半徑及CE的長。

Answer 1

（1）答：直線AC與△DBE的外接圓相切 證明：∵ DE⊥BE ∴ BD是Rt△DBE外接圓的直徑             ∴ 取BD的中點O，連接OE。              ∵ BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE                  又 ∵ OB=OE， ∴∠OBE=∠BEO， ∴∠CBE=∠BEO， ∴BC∥OE               ∵∠C=90°， ∴OE⊥AC， ∴AC是△BDE的外接圓的切線。 （2）設⊙O的半徑為r，則在Rt△AOE中，AD=6，AO=r+6，AE=6，              即       解得 r=3 , ∴ △BDE的外接圓的半徑是3.              過點E作EF⊥AB于F， ∵ BE平分∠ABC，∠C=90° ∴ EF=EC ，               在Rt△AOE中， AO=6+3=9，，EF=               = =2  ∴ CE=EF=2                 ∴ 外接圓的半徑為3，CE的長為2