Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點M，Q分別是邊AB，BC上的動點（點M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過點M作BC的平行線MN，交AC于點N，連接NQ，設BQ為x．

（1）試說明不論x為何值時，總有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一點Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；

（3）當x為何值時，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當BQ=MN時，四邊形BMNQ為平行四邊形，證明見解析；（3）當x=時，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）根據題意得到∠MQB=∠CAB，根據相似三角形的判定定理證明；

（2）根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；

（3）根據勾股定理求出BC，根據相似三角形的性質用x表示出QM、BM，根據梯形面積公式列出二次函數解析式，根據二次函數性質計算即可．

（1）∵MQ⊥BC，

∴∠MQB=90°，

∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，

∴△QBM∽△ABC；

（2）當BQ=MN時，四邊形BMNQ為平行四邊形，

設AM=3a，則MN=5a，

∴BQ=MN=5a，

∵MN∥BQ，

∴∠NMQ=∠MQB=90°，

∴∠AMN+∠BMQ=90°，又∠B+∠BMQ=90°，

∴∠B=∠AMN，又∠MQB=∠A=90°，

∴△MBQ∽△NMA，

∴，即，

解得，a=，

∴BQ=，

∵MN∥BQ，BQ=MN=，

∴四邊形BMNQ為平行四邊形；

（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，

∴BC==5，

∵△QBM∽△ABC，

∴，即，

解得，QM=x，BM=x，

∵MN∥BC，

∴，即，

解得，MN=5-x，

則四邊形BMNQ的面積=

=，

∴當x=時，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為．