Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，聯結EF，交邊AB于點G，設DE=x，BF=y。
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如果AD=BF，求證：△AEF∽△DEA；
（3）當點E在邊CD上移動時，△AEG能否成為等腰三角形？如果能，請直接寫出線段DE的長；如果不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3，
即得∠D=∠ABF，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF，
于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
得△DAE∽△BAF，
∴，
由DE=x，BF=y，得，
即得，
∴y關于x的函數解析式是，0＜x＜4；
（2）∵AD=BF，AD=BC，
∴BF=BC,
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴=1，
即得FG=EG，
于是，由∠EAF=90°，得AG=FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴∠AFE=∠DAE，
于是，由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA；
（3）當點E在邊CD上移動時，△AEG能成為等腰三角形，
此時，①當AG=EG時，DE=；
②當AE=GE時，DE=；
③當AG=AE時，DE=。