Question

設C為線段AB的中點，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形．以B為圓心，BD長為半徑的⊙B與AB相交于F點，延長EB交⊙B于G點，連接DG交于AB于Q點，連接AD．
求證：（1）AD是⊙B的切線；
（2）AD=AQ；
（3）BC²=CF•EG．

Answer 1

證明：（1）連接BD，
∵四邊形BCDE是正方形，
∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，
∵C為AB的中點，
∴CD是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
∵BD為半徑，
∴AD是⊙B的切線；

（2）∵BD=BG，
∴∠BDG=∠G，
∵CD∥BE，
∴∠CDG=∠G，
∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，
∴∠ADQ=90°-∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°-∠G=67.5°，
∴∠ADQ=∠AQD，
∴AD=AQ；

（3）連接DF，
在△BDF中，BD=BF，
∴∠BFD=∠BDF，
又∵∠DBF=45°，
∴∠BFD=∠BDF=67.5°，
∵∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF與Rt△GCD中，
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，
∴Rt△DCF∽Rt△GED，
∴，
又∵CD=DE=BC，
∴BC²=CF•EG．
分析：（1）連接BD，由DC⊥AB，C為AB的中點，由線段垂直平分線的性質，可得AD=BD，再根據正方形的性質，可得∠ADB=90°；
（2）由BD=BG與CD∥BE，利用等邊對等角與平行線的性質，即可求得∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，繼而求得∠ADQ=∠AQD=67.5°，由等角對等邊，可證得AD=AQ；
（3）易求得∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，即可證得Rt△DCF∽Rt△GED，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得結論．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、切線的判定與性質、正方形的性質以及等腰三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．