Question

如圖①，已知：四邊形OABC中，O為直角坐標系的原點，A點坐標為（1，4），B點在x軸的正半軸上，C點坐標為（8，-4），動點P從點O出發，依次沿線段OA、AB、BC向點C移動。設P點移動的路徑為Z，△POC的面積S隨著Z的變化而變化的圖像如圖②所示（其中線段DE//x軸）。
（1）請你確定B、C兩點的坐標；
（2）當動點P是經過點O、B的拋物線的頂點時，
①求此拋物線的解析式；
②在x軸上是否存在點M，使△PBM與△OBC相似？若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過C作CQ⊥x軸于Q點， 由圖（2）得：當P運動到B時， ∵ 即， ∴， ∴B坐標（9，0）；
（2）①拋物線經過O、B點， ∴ 拋物線的對稱軸為， ∴對稱軸必與邊AB相交, 由題意可知，拋物線的頂點在直線AB上且也在對稱軸上， 設直線AB的表達式為y=kx+b， 則可得方程  得 ∴ 又由方程組 解之得 ∴拋物線的頂點坐標為， 設拋物線的解析式為 把點O的坐標代入得， ∴拋物線的解析式為； ②設在x軸上存在點M。 使△PBM與△OBC相似， ∴ （i）當時，△PBM∽△OBC， 即，BM=5， ∴M（4，0） ∴ （ii）當時，△PBC∽△COB， 即，BM=， ∴M（，0） 所以在x軸上存在點M（4，0）和 （，0） 使△PBM∽△OBC相似。