Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C，G是⊙O上兩點，且弧AC＝弧CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，AC，CG，根據圓周角定理可證出∠ABC＝∠CBG，由已知條件推出OC∥BG，根據兩直線平行，同位角相等可得結果；

（2）根據平行證明△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，可推出∠E＝30°，過A作AH⊥DE于H，可得∠CBD＝∠EBD＝30°，求出AH和DH即可求解．

（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，

∵弧AC與弧CG相等，

∴∠ABC＝∠CBG，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCB＝∠CBG，

∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）由圖1：∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，

∴，∴，

∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OB，

∴OC＝OE，∵∠ECO＝90°，∴∠E＝30°，

如圖2，過A作AH⊥DE于H，

∵∠E＝30°

∴∠EBD＝60°，

∴∠CBD＝∠EBD＝30°，

∵CD＝，

∴BD＝3，DE＝3，BE＝6，

∴AE＝BE＝2，∴AH＝1，

∴EH＝，∴DH＝2，

∴在Rt△DAH中，AD＝．