Question

圖甲是第七屆國際數學教育大會的會徽，會徽的主體圖案是由圖乙中的一連串直角三角形演化而成的，其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=1．
細心觀察圖形，認真分析下列各式，然后解答問題：
（

1

）²+1=2，S₁=

1

2

；（

2

）²+1=3，S₂=

2

2

；（

3

）²+1=4，S₃=

3

2

；…
（1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變化規律，并計算出OA₁₀的長；
（2）求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析：解答此題要熟悉勾股定理，根據定理求出OA₁、OA₂、OA₃、OA₄、OA₅…OA_n的值，得出規律，進一步得出面積的變化規律．

解答：解：（1）根據勾股定理，OA₂₌

1 2+1

=

2

，OA₃=

3

，
OA₄=2，…，OA₁₀=

10

，OA_n=

( n )2+1

=

n

．
S₁=

1

2

；S₂=

2

2

；S₃=

3

2

；…；S₁₀=

10

2

；S_n=

n

2

；

（2）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=(

1

2

)2+(

2

2

)2+(

3

2

)2+…+(

10

2

)2=

1+2+3+…+9+10

4

=

55

4

．

點評：此題是一道規律探索題，首先進行具體數的計算，根據數字找出規律，得出一般性規律．