Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點P從點A開始沿射線AC向點C以2cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點C開始沿邊CB向點B以1cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、C同時出發，運動的時間為ts，當點Q運動到點B時，兩點停止運動．

（1）當點P在線段AC上運動時，P、C兩點之間的距離　 　cm．（用含t的代數式表示）

（2）在運動的過程中，是否存在某一時刻，使得△PQC的面積是△ABC面積的．若存在，求t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（6﹣2t）；（2）存在，理由見解析，t＝4

【解析】

（1）依據AC＝6cm，AP＝2t，即可得到：當點P在線段AC上運動時，P、C兩點之間的距離（6﹣2t）cm；

（2）分兩種情況：當0＜t＜3時，當3＜t≤8時，分別依據△PQC的面積是△ABC面積的，列方程求解即可．

解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，

∴由勾股定理得AC＝6cm，

又∵點P從點A開始沿射線AC向點C以2cm/s的速度移動，

∴AP＝2t，

∴當點P在線段AC上運動時，P、C兩點之間的距離（6﹣2t）cm；

故答案為：（6﹣2t）；

（2）△ABC的面積為S△ABC＝×6×8＝24，

①當0＜t＜3時，PC＝6﹣2t，QC＝t，

∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），

∴t（6﹣2t）＝4，

即t2﹣3t+4＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，

∴該一元二次方程無實數根，

∴該范圍下不存在；

②當3＜t≤8時，PC＝2t﹣6，QC＝t，

∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），

∴t（2t﹣6）＝4，

即t2﹣3t﹣4＝0，

解得t＝4或﹣1（舍去），

綜上所述，存在，當t＝4時，△PQC的面積是△ABC面積的．