Question

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，O為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點C在x軸正半軸上，點B坐標為（2，），∠BCO=60°，OH⊥BC于點H．動點P從點H出發，沿線段HO向點O運動，動點Q從點O出發，沿線段OA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度．設點P運動的時間為t秒．

（1）求OH的長；
（2）若△OPQ的面積為S（平方單位）．求S與t之間的函數關系式．并求t為何值時，△OPQ的面積最大，最大值是多少；
（3）設PQ與OB交于點M．①當△OPM為等腰三角形時，求（2）中S的值． ②探究線段OM長度的最大值是多少，直接寫出結論．

Answer 1

2；；

解析試題分析：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2 
∴OB=4，∠ABO=60°
∴∠BOC=60°而∠BCO=60°
∴△BOC為等邊三角形

∴OH=OBcos30°=4×=2；      2分
（2）∵OP="OH-PH=2" -t
∴Xp="OPcos30°=3-" t   Yp="OPsin30°=" -
∴S= •OQ•Xp= •t•（3- t）
=（o＜t＜2）
當t=時，S最大= ；            5分
（3）①若△OPM為等腰三角形，則：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=yp即t= -
解得：t= 
此時S=
（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°∴∠OQP=45°
過P點作PE⊥OA，垂足為E，則有：EQ=EP
即t-（ - t）="3-" t
解得：t=2
此時S= 
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB∴PQ∥OA
此時Q在AB上，不滿足題意．       10分
②線段PM長的最大值為 ．          12分
考點：二次函數的綜合題
點評：此題將用待定系數法求二次函數解析式、動點問題和最小值問題相結合，有較大的思維