Question

已知雙曲線y=與直線y=相交于A、B兩點，第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線上的動點，過點B作BD∥y軸交x軸于點D，過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線于點E，交BD于點C。
（1）若點D的坐標是（-8，0），求A，B兩點的坐標及k的值；
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式；
（3）設直線AM，BM分別與y軸相交于P，Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值。

Answer 1

解：（1）∵D（-8，0），
∴B點的橫坐標為-8，代入中，得y=-2，
∴B點坐標為（-8，-2），
而A、B兩點關于原點對稱，
∴A（8，2），
從而k=8×2=16；
（2）∵N（0，-n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，
∴B（-2m，-n/2），C（-2m，-n），E（-m，-n），
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=mn=k，S_△OEN=mn=k，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直線y=1/4x及雙曲線y=4/x，
得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
設直線CM的解析式是y=ax+b，
由C、M兩點在這條直線上解得a=b=2/3，
∴直線CM的解析式是y=2/3x+2/3；
（3）分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，
垂足分別為A₁、M₁，
設A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為-a，
于是p=（a-m）/m，
同理q=（m+a）/m，
∴p-q=-2。