Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=AC，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．
（1）已知CD=3，求BE的長；
（2）求證：BD=ED；
（3）若點F是BE邊的中點，試判斷DF與BE的位置關系并簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=BC=AC，BD是中線，
∴BC=AC=2CD
∵CD=3，
∴BC=2CD=6，CE=CD=3
∴BE=BC+CE=6+3=9
（2）∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對等邊）．
（3）∵點F是BE邊的中點，
∴DF是BE邊的中線，
∵BD=ED
∴DF⊥BE
分析：（1）利用三角形的中線的性質得到BC=AC=2CD=6，從而求得線段BE的長；
（2）根據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據角之間的關系求得∠DBC=∠CED，根據等角對等邊即可得到DB=DE．
（3）利用等腰三角形的性質即可得到DF和BE是垂直關系．
點評：此題主要考查學生對等邊三角形的性質及三角形外角的性質的理解及運用；利用三角形外角的性質得到∠CDE=30°是正確解答本題第二問的關鍵．