Question

如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度數；
（2）P為BA延長線上的一點，當PC與⊙O相切時，求PO的長．

Answer 1

分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半徑知，△AOC是等腰三角形，然后根據等腰三角形的兩個底角相等的性質求得∠OAC=∠OCA=60°；
（2）根據（1）的結論推知，△AOC是等邊三角形，所以∠POC=60°；然后根據切線的性質求得∠PCO=90°；最后在Rt△POC中，由∠POC的余弦函數值來求PO的長．

解答：解：（1）在△OAC中，
∵OA=OC（⊙O的半徑），∠OAC=60°，
∴∠OAC=∠OCA（等邊對等角）；
又∵∠OAC=60°，
∴∠AOC=60°；

（2）由（1）知，在△OAC中，∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠COA=60°（三角形的內角和是180°）；
∵CP與⊙O相切，
∴∠PCO=90°；
在Rt△POC中，cos∠POC=cos60°=

4

PO

，
∴PO=8．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．