Question

【題目】在正方形ABCD中，AB＝6，對角線AC和BD相交于點O，E是AB所在直線上一點（不與點B重合），將線段OE繞點E順時針旋轉90°得到EF．

（1）如圖1，當點E和點A重合時，連接BF，直接寫出BF的長為　 　；

（2）如圖2，點E在線段AB上，且AE＝1，連接BF，求BF的長；

（3）若DG：AG＝2：1，連接CF，H是CF的中點，是否存在點E使△GEH是以EG為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出EB的長；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）2；（3）存在，5或或

【解析】

（1）先根據旋轉的性質和正方形的性質得，再證明，得；

（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明，得，，計算的長，最后利用勾股定理可得結論；

（3）先根據，且，計算，，分三種情況：①當時，在的左側時，如圖3，作輔助線，構建全等三角形和直角三角形，設，在中，根據，列方程可得的值，從而得的長；②當時，如圖4，同理作輔助線，設，則，證明，列比例式可得結論，其中，就是③，如圖5所示，不符合題意．

解：（1）如圖1，由旋轉得：，，

四邊形是正方形，且邊長為6，

，，

，

，

，

，

故答案為：；

（2）如圖2，過作于，過作于，

四邊形是正方形，

，

，

和是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

，，

，

中，由勾股定理得：；

（3）存在是以為直角邊的直角三角形；

，且，

，，

分三種情況：

①當時，在的左側時，如圖3，過作，交的延長線于，過作于，交于，過作于，過作于，過作于，

設，

同理得，

，，

是的中點，，

，

，

，

中，，

，

，

，，

當時，（如圖6所示），

當時，；

②當時，如圖4，過作，交的延長線于，過作于，交于，過作于，過作于，

設，則，

同理得：，，，，

，，

，，

，

，

，

，即，

，

解得：（舍或5，

即；

③如圖5，當與重合時，，此種情況不符合題意；

綜上，的長是5或或．