Question

8．已知△ABC為等邊三角形．
（1）如圖，P為△ABC外一點，∠BPC=120°，連接PA，PB，PC，求證：PB+PC=PA；
（2）如圖，P為△ABC內一點，PC＞PB，∠BPC=150°，若PA=5，△BPC的面積為3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）將△ABP繞著點A逆時針旋轉60°，得△ACP′，通過點P、C、P′三點共線得出△APP′為等邊三角形，從而得證．
（2）將△ABP繞著點A逆時針旋轉60°，得△ACP″，連接PP″，通過邊角關系找到△PAP″為等邊三角形，△PCP″為直角三角形，再根據給定條件即可求得△ABC的面積．

解答 （1）證明：將△ABP繞著點A逆時針旋轉60°，得△ACP′，如圖①所示．

∵∠BAC+∠BPC=180°，
∴∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠ACP′+∠ACP=180°，
∴點P、C、P′三點共線，
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAP′=∠PAP′=60°，且AP=AP′，
∴△APP′為等邊△，
∴AP=PP′=BP+PC．
證畢．
（2）解：將△ABP繞著點A逆時針旋轉60°，得△ACP″，連接PP″，如圖②所示．

∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=∠CAP″+∠PAC=∠PAP″，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠PAP″=60°，
∵AP=AP″，
∴△PAP″為等邊三角形，
∵∠PCP″=∠ACP+∠ACP″=∠ACP+∠ABP，且∠BPC=150°，
∴∠PCP″=∠ABC+∠ACB-∠PBC-∠PCB=60°+60°-180°+150°=90°，
∴△PCP″為直角三角形，
△BPC的面積為$\frac{1}{2}$×BP×PC×sin∠BPC=$\frac{1}{4}$×BP×PC，
△PCP″的面積為$\frac{1}{2}$×PC×CP″=$\frac{1}{2}$×BP×PC，
∵△BPC的面積為3，
∴△PCP″的面積為3÷$\frac{1}{2}$=6，
∵△APP″為等邊三角形，且AP=5，
∴△APP″的面積為$\frac{1}{2}$×AP×AP″×sin60°=$\frac{1}{2}$×5×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面積為6+$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查的是旋轉的性質，（1）解題的關鍵是旋轉三角形，將PB、PC放在同一直線上，再利用證等邊三角形得出結論；（2）解題的關鍵是旋轉三角形，將不知道邊長的等邊三角形換成一個已知邊長的等邊三角形加上直接三角形的形式，即可求得結論．