Question

在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連接PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F．

（1）如圖1，請探索BE、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數量關系．直接寫出結論．
（2）若點P在DC的延長線上（如圖2），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系，并證明．
（3）若點P在CD的延長線上呢（如圖3）？請分別直接寫出結論并簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）BE=EF+DF， 
  （2）DF=BE+EF，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
 ∴∠AEB=∠DFA=90°，
 ∴∠BAE+∠ABE=90°，
 ∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中：，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
 ∴BE=AF，AE=DF，
 ∵AE=AF+EF，
∴DF=EB+EF．  
（3）EF=BE+DF．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
 ∴AB=AD，∠BAD=90°，
 ∴∠1+∠3=90°，
 ∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△ABE和△DAF中：，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
 ∴BE=AF，AE=DF（全等三角形對應邊相等），
 ∵EF=AF+AE，
∴EF=EB+FD（等量代換）