Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，正方形OABC的點A在軸上，點C在軸上，點B（4，4），點E在BC邊上．將△ABE繞點A 順時針旋轉90°，得△AOF，連接EF交軸于點D．

（Ⅰ）若點E的坐標為（，）．求

（1）線段EF的長；

（2）點D的坐標；

（Ⅱ）設點E（，），，試用含的式子表示，并求出使取得最大值時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1）;（2）點D的坐標為（0，）；（Ⅱ）,點E的坐標為（4，2）時，S有最大值．

【解析】

試題（Ⅰ）（1）由旋轉的性質知：△ABE≌△AOF，從而可知CF、EC的長度，利用勾股定理可求EF的長；

（2）求出直線EF的解析式，令x=0，得y的值，從而可求出D點坐標．

（Ⅱ）分別用含有m的代數式表示和，從而S的代數式可以確定，最后利用二次函數的性質求出點E的坐標即可．

試題解析：由旋轉的性質知：△ABE≌△AOF，

∴AB=AO，BE=OF

∵B（4，4），E（4,3）

∴OF=BE=1,AB=OC=4,

∴FC=5,EC=3

由勾股定理得：EF=．

（2）由（1）知:E（4,3），F（-1，0）

設直線EF的解析式為：y=kx+b,把E（4,3），F（-1，0）代入得：

解得：

∴直線EF的解析式為：

令x=0，則y=，

∴點D的坐標為（0，）；

（Ⅱ）∵點E（4，m）

∴EC=m，BE=4-m，OF=4-m,FC=8-m

∴=,=

∴

=

=

=

∴當m=2時，S有最大值

故當點E的坐標為（4，2）時，S有最大值．