Question

【題目】如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別交于點C，A，點D為點B（﹣3，0）關于AC的對稱點，反比例函數y＝的圖象經過點D．

（1）求證：四邊形ABCD為菱形；

（2）求反比例函數的解析式；

（3）已知在y＝的圖象（x＞0）上一點N，y軸正半軸上一點M，且四邊形ABMN是平行四邊形，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）反比例函數解析式為y＝；（3）點M的坐標為（0，）．

【解析】

（1）由直線解析式可得A（0，4），C（2，0），利用勾股定理求得AB＝5=BC，又由D為B點關于AC的對稱點，可得AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，即可證得AB＝BC＝CD＝DA，得證四邊形ABCD為菱形.

（2）由四邊形ABCD為菱形.可求得點D的坐標，然后利用待定系數法即可求得此反比例函數的解析式.

（3）由四邊形ABMN是平行四邊形，根據平移的性質可得到N的橫坐標，代入反比例函數解析式求出N縱坐標，從而求得M的坐標.

解：（1）∵直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別交于點C，A，

∴A（0，4），C（2，0），

∴AB＝＝5，BC＝5，

∵D為B點關于AC的對稱點，

∴AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，

∴AB＝BC＝CD＝DA，

∴四邊形ABCD為菱形.

（2）∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD∥BC，

而AD＝5，A（0，4），

∴D（5，4），

把D（5，4）代入y＝得k＝5×4＝20，

∴反比例函數解析式為y＝.

（3）∵四邊形ABMN是平行四邊形，

∴AB∥NM，AB＝NM，

∴MN是AB經過平移得到的，

∵點M是點B在水平方向向右平移3個單位長度，

∴點N的橫坐標為3，代入y＝中，得：y＝，

∴點M的縱坐標為﹣4＝，

∴點M的坐標為（0，）．