Question

【題目】已知，△ABC內接于圓O，弦CD⊥AB交AB于E，AF⊥BC于點F，AF交CD于點G．

(1)如圖①，求證：DE＝EG；

(2)如圖②，連接OG，連接DA并延長至點P，連接CP，點P在CG的垂直平分線上，若AP＝2AG，求證：OG∥AB；

(3)如圖③，在(2)的條件下，過點D作DK⊥AF于點K，若∠PAC＝∠DAF，KG＝，求線段CG的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)GC=2.

【解析】

(1)連接AD，由余角的性質可得∠ABC＝∠FGC，可得∠D＝∠AGD，由等腰三角形的性質可得DE＝EG；

(2)連接PG，過點P作PH⊥DC于點H，由線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質可得GH＝HC，由平行四邊形的性質可得＝，可得EH＝2DE，可得GH＝DE＝EG＝HC，由垂徑定理可得OG⊥CD，即可證OG∥AB；

(3)過點C作CN∥AD交AF的延長線于點N，連接PN交CD于點H，連接EN，通過證明△ADG≌△NCG，可得AD＝AG＝GN＝CN，通過證明△DKG≌△CFG，可得KG＝GF＝，FC＝DK，由勾股定理可求CN＝＝AD＝AG＝GN，即可求CG的長．

證明：(1)連接AD

∵CD⊥AB，AF⊥BC

∴∠ABC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FGC＝90°

∴∠ABC＝∠FGC，

∵∠D＝∠ABC，∠FGC＝∠AGD

∴∠D＝∠AGD

∴AD＝AG，且AE⊥CD

∴DE＝EG，

(2)如圖，連接PG，過點P作PH⊥DC于點H，

∵點P在CG的垂直平分線上，

∴PG＝PC，且PH⊥DC

∴GH＝HC

∵AB⊥CD，PH⊥CD

∴AB∥PH

∴

∵AP＝2AG，AD＝AG

∴AP＝2AD

∴=

∴EH＝2DE

∵EH＝EG+GH＝2DE，且DE＝EG

∴GH＝DE＝EG，且GH＝HC

∴GH＝DE＝EG＝HC

∴DG＝GC，OG過圓心O

∴OG⊥CD，且AB⊥CD

∴OG∥AB

(3)如圖，過點C作CN∥AD交AF的延長線于點N，連接PN交CD于點H，連接EN，

∵CN∥AD

∴∠DAN＝∠ANC，∠ADC＝∠DCN，且DG＝CG

∴△ADG≌△NCG(AAS)

∴AD＝NC，AG＝AN，且AD＝AG

∴AD＝AG＝GN＝CN

∵AD∥CN

∴∠PAC＝∠ACN，且∠DAN＝∠ANC，∠PAC＝∠DAN

∴∠ANC＝∠ACN

∴AN＝AC

∵∠DKG＝∠GFC，∠DGK＝∠CGF，DG＝GC

∴△DKG≌△CFG(AAS)

∴KG＝GF＝，FC＝DK

∵FC2＝CN2﹣NF2＝AC2﹣AF2，

∴CN2﹣(CN﹣)2＝(2CN)2﹣(CN+)2，

∴CN＝＝AD＝AG＝GN

∴NF＝CN﹣＝

∴FC＝＝5，

∴GC＝＝2