Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+mx+m（m＞0）的頂點為A，交y軸于點C．

（1）求出點A的坐標（用含m的式子表示）；

（2）若直線y＝﹣x＋n經過點A，與拋物線交于另一點B，證明：AB的長是定值；

（3）連接AC，延長AC交x軸于點D，作直線AD關于x軸對稱的直線，與拋物線分別交于E、F兩點．若∠ECF＝90°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）-1+

【解析】

（1）直接寫出頂點式即可得出結論；
（2）先將點A坐標代入直線AB的解析式中，得出n=2m+m2，進而得出直線AB的解析式為y=-x+2m+m2，再聯立拋物線解析式得出方程組，轉化成方程，利用根與系數的關系即可得出結論；
（3）先求出點A，C關于x軸的對稱點，進而得出直線EF解析式，再聯立拋物線解析式，過點C作MN∥x軸，過點E作EM⊥MN于點M，過點F作FN⊥MN，設點E，F坐標，聯系拋物線和EF表達式，利用根與系數的關系列出方程求解.

解：（1）拋物線，

頂點的坐標為；

（2）由（1）知，頂點的坐標為，

直線經過點，

，

，

直線的解析式為①，

設，，，，

拋物線②，

聯立①②得，，

即：，

，，

即：的長是定值，其值為；

（3）拋物線與軸相交于，

，

點關于軸的對稱點的坐標為，

由（1）知，頂點的坐標為，

點關于軸的對稱點的坐標為，

直線是直線關于軸的對稱點，

點，在直線上，

直線的解析式為③，

拋物線④，

設E（，），F（，），

過點C作MN∥x軸，過點E作EM⊥MN于點M，過點F作FN⊥MN，如圖1，

∵∠ECF=90°，

∴∠ECM+∠FCN=90°，

∠FCN+∠CFN=90°，

∴∠ECM=∠CFN，

∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴△EMC∽△CNF，

∴,

即，

化簡得：，

聯立③④得，，

，，

==，

，

∴，

∴=0

解得：m=或m=或m=0，

∵m>0

∴m=.