Question

【題目】如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點，A點的橫坐標為3，則下列結論：①k=3；②關于x的不等式的解集為或；③若雙曲線上有一點C的縱坐標為6，則△AOC的面積為8；④若在軸上有一點M，軸上有一點N，且點M、N、A、C四點恰好構成平行四邊形，則M、N點的坐標分別為M(2,0)、N(0,4)，其中正確結論的個數( )

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：①直線與雙曲線交于A、B兩點，A點橫坐標為3，代入正比例函數，可求得點A的坐標，繼而求得k值；②根據對稱性，可求得點B的坐標，結合圖象，即可求得關于x的不等式的解集；③過點C作CD⊥x軸于點D，過點A作AE⊥軸于點E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC，又由雙曲線y= (k＞0)上有一點C的縱坐標為6，即可求得點C的坐標，繼而求得答案；④由當MN∥AC，且MN=AC時，點M、N、A、C四點恰好構成平行四邊形，根據平移的性質，即可求得答案．

詳解：

∵直線與雙曲線交于A、B兩點，A點橫坐標為3，

∴點A的縱坐標為：y=×3=2，

∴點A（3，2），

∴2=，

∴k=6；

①錯誤；

∵直線與雙曲線交于A、B兩點，點A（3，2），

∴B（-3，-2），

∴關于x的不等式的解集為或；

②正確；

過點C作CD⊥x軸于點D，過點A作AE⊥軸于點E，

∵雙曲線y= (k＞0)上有一點C的縱坐標為6，

∴把y=6代入y=得：x=1，

∴點C（1，6），

∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC=×（2+6）×（3-1）=8；

③正確；

如圖，當MN∥AC，且MN=AC時，點M、N、A、C四點恰好構成平行四邊形，

∵點A（3，2），點C（1，6），

∴根據平移的性質可得：M（2，0），N（0，4）或M′（-2，0），N′（0，-4）．

④正確；

綜上，正確的結論有3個，故選B.