Question

已知多邊形ABDEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，一圓過A、D、E三點，求該圓半徑的長．

 

Answer 1

【答案】

2

【解析】解:方法一．如圖1，

將正方形BDEC上的等邊△ABC向下平移得等邊△ODE，其底邊與DE重合．………………………1分

∵A、B、C的對應點是O、D、E．

∴OD=AB，OE=AC，AO=BD．    …………………3分

∵等邊△ABC和正方形BDEC的邊長都是2，

∴AB=BD=AC=2．

∴OD =OA=OE=2．          ………………………4分

∵A、D、E三點不在同一直線上，

∴A、D、E三點確定一圓，  ………………………6分

∵O到A、D、E三點的距離相等，

∴O點為圓心，OA為半徑．

∴該圓的半徑長為2．       ………………………8分

方法二．如圖2，

作AF⊥BC，垂足為F，并延長交DE于H點．                      ………………1分

∵△ABC為等邊三角形，

∴AF垂直平分BC，

∵四邊形BDEC為正方形，

∴AH垂直平分正方形的邊DE．……………………3分

又DE是圓的弦，∴AH必過圓心，記圓心為O點，并設⊙O的半徑為r．

在Rt△ABF中， ∵∠BAF=，

∴．

∴OH==ｒ． ……………………………………………………5分

在Rt△ODH中， ．

∴．解得ｒ＝2．．……………………………………………………7分

∴該圓的半徑長為2．                                   ………………………8分

方法不唯一，方法一：利用平移的方法，根據等邊三角形的三邊相等，正方形四邊相等，得出A、D、E三點確定一圓即可；方法二：作垂直，利用三線合一，勾股定理，構造關于半徑的方程即可