Question

(2006重慶課改，25)問題背景　　某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：

①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN；

圖1

②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN．

圖2

然后運用類比的思想提出了如下命題：

③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN．

圖3

任務要求

(1)請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；(說明：選①做對的得4分，選②做對的得3分，選③做對的得5分)

(2)請你繼續完成下面的探索：

①如圖4，在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，問當∠BON等于多少度時，結論BM=CN成立？(不要求證明)

圖4

②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°時，請問結論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

圖5

(1)我選________．

證明：

Answer 1

答案：略
解析：

(1)選命題① 證明：在圖1中，∵∠BON=60°，∴∠1＋∠2=60°．(1分) ∵∠3＋∠2=60°，∴∠1=∠3．(2分) 又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°，∴△BCM≌△CAN．(3分) ∴BM=CN．(4分) 圖1 選命題②． 證明：在圖2中，∵∠BON=90°，∴∠1＋∠2=90°．∵∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．(1分) 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°，∴△BCM≌△CDN．(2分) ∴BM=CN．(3分) 圖2 選命題③． ∴證明：在圖3中，∵∠BON=108°，∴∠1＋∠2=108°．(1分) ∵∠2＋∠3=108°，∴∠1=∠3．(2分) 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．(3分) ∴△BCM≌ΔCDN．(4分) ∴BM=CN．(5分) 圖3 (2)①當∠BON=時，結論BM=CN成立．(2分) ②BM=CN成立． 證明：如圖4，連結BD、CE． 在ΔBCD和△CDE中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∴△BCD≌△CDE． ∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．(1分) ∵∠CDE=∠DEA=108°，∴∠BDM=∠CEN．∵∠OBC＋∠OCB=108°，∠OCB＋∠OCD=108°，∴∠MBC=∠NCD．又∵∠DBC=∠ECD=36°，∴∠DBM=∠ECN．(2分) ∴ΔBDM≌ΔCEN．∴BM=CN．(3分) 圖4 說明：第(2)小題第②問只回答BM=CN成立，但未證明的，不給分．