Question

如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是邊AB（含端點）上的動點．過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點S，在線段RS上存在一點T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點E，F恰好分別在邊BC，AC上．

（1）△ABC與△SBR是否相似，說明理由；                                                                      

（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關系；

（3）設邊AB＝1，當P在邊AB（含端點）上運動時，請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值．

Answer 1

解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分線，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.

在△ABC與△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，

∴△ABC∽△SBR..

(2)線段TS的長度與PA相等.

∵四邊形PTEF是正方形，

∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°,

在Rt△PFA中，∠PFA ＋∠FPA＝90°,

∴∠PFA＝∠TPS，

∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.

當點P運動到使得T與R重合時，

這時△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等，即有PA＝TS.

由以上可知，線段ST的長度與PA相等.

 (3)由題意，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高，

∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋PA＝1, ∴PS＝.

設PA的長為x，易知AF=PS，

則y＝PF＝PA＋PS,得y＝x＋(),

即y＝，

根據二次函數的性質，當x＝時，y有最小值為.

如圖2，當點P運動使得T與R重合時，PA＝TS為最大.

易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，

∴PA＝.

如圖3，當P與A重合時，得x＝0.

∴x的取值范圍是0≤x≤. 

∴①當x的值由0增大到時，y的值由減小到

∴②當x的值由增大到時，y的值由增大到.

∵≤≤，∴在點P的運動過程中，

正方形PTEF面積y的最小值是，y的最大值是.