Question

如圖，已知直線L₁的解析式為y=1.5x+6，直線L₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，直線L₂經過B、C兩點，點C的坐標為（8，0），又已知點P在x軸上從點A向點C移動，點Q在直線L₂從點C向點B移動（一點到達終點，另一點即停止運動）．點P、Q同時出發，移動的速度都為每秒1個單位長度，設移動時間為t秒．
（1）求直線L₂的解析式；
（2）設△PCQ的面積為S，請求出S關于t的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻，當過P、Q兩點的直線平分△OCB的周長時，△PCQ的面積達到最大？若存在，求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）試探究：當t為何值時，△PCQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線L₁的解析式為y=1.5x+6，直線L₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，所以分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標，又因直線L₂經過B、C兩點，B的坐標已經求出，點C的坐標為（8，0），所以利用待定系數法結合方程組即可求出L₂的解析式；
（2）要求△PCQ的面積S，需求出PC上的高，因此需過點Q作QE⊥AC于點E，因為OB=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因為QE⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形對應邊的比等于相似比可得=，所以QE=t，S=PC•QE=（12-t）•t，整理即可；
（3）由（2）知S=-t²+t=-（t-6）²+10.8，利用二次函數最值的求法可知當t=6時，S有最大值，最大值為10.8，此時CP=6，CQ=6，L_△CBO=6+8+10=24，利用CP+CQ=12，從而可判斷此時直線PQ將三角形的周長平分，接下來求Q的坐標：
由（2）中△QCE∽△BOC，可得==，即==．所以QE=，CE=，OE=，即點Q的坐標為（，）；
（4）因為△PCQ為等腰三角形，所以需分情況討論：
①當CP=CQ時，△PQC為等腰三角形，因為AP=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
②當PQ=CQ時，因為QE⊥OC，所以CE=OE=（12-t），利用△CQE∽△CBO，可得=，代入相關數據即可求出t的值；
③當PQ=CP時，△PQC為等腰三角形，可過點P作PH⊥BC于點H，利用等腰三角形的三線合一可得CH=HQ=t，因為∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，可得△CHP∽△COB，所以=，代入相關數據即可求出t的值．
解答：解：（1）y=-x+6．

（2）過點Q作QE⊥AC于點E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴=，=，∴QE=t=，
∴S=PC•QE=（12-t）•t=-t²+t．

（3）存在，
S=-t²+t=-（t-6）²+10.8，
∴當t=2時，S有最大值，最大值為10.8，此時CP=6，CQ=6，
∴L_△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴==，即==．
∴QE=，CE=，
∴OE=，
∴點Q的坐標為（，）．

（4）①當CP=CQ時，△PQC為等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，當PQ=CQ時，△PQC為等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=（12-t）
∵△CQE∽△CBO，
∴=，即=，
∴t=；
③當PQ=CP時，△PQC為等腰三角形，過點P作PH⊥BC于點H，
則CH=HQ=t，∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，∴△CHP∽△COB，
∴=，即=，∴t=．
綜上所述t=6，t=，t=時，△PQC為等腰三角形．
點評：本題是一道綜合性較強的題目，需仔細分析題意，利用一次函數和相似三角形的知識來解決問題，另外要注意解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．