Question

【題目】如圖，已知二次函數y1=-x2+x+c的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸的交點為B，過A、B的直線為y2=kx+b．

（1）求二次函數y1的解析式及點B的坐標；

（2）由圖象寫出滿足y1＜y2的自變量x的取值范圍；

（3）在兩坐標軸上是否存在點P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+x+3，B點坐標為（0，3）；(2) x＜0或x＞4 (3)P1（0，-），P2（，0）.

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據自變量為零，可得B點坐標；

（2）根據一次函數圖象在上方的部分是不等式的解集，可得答案；

（3）根據線段垂直平分線上的點到線段兩點間的距離相等，可得P在線段的垂直平分線上，根據直線AB，可得AB的垂直平分線，根據自變量為零，可得P在y軸上，根據函數值為零，可得P在x軸上．

試題解析：（1）將A點坐標代入y1，得

-16+13+c=0．

解得c=3，

二次函數y1的解析式為y=-x2+x+3，

B點坐標為（0，3）；

（2）由圖象得直線在拋物線上方的部分，是x＜0或x＞4，

∴x＜0或x＞4時，y1＜y2；

（3）直線AB的解析式為y=-x+3，

AB的中點為（2，）

AB的垂直平分線為y=x-

當x=0時，y=-，P1（0，-），

當y=0時，x=，P2（，0），

綜上所述：P1（0，-），P2（，0），使得為底邊的等腰三角形．△ABP是以AB