Question

已知：如圖1，∠AOB=70°．
（1）如圖2，射線OC在∠AOB的內部，OD平分∠AOC，若∠BOD=40°，求∠BOC的度數；
（2）若∠BOD=3∠B0C（∠BOC＜45°），且∠AOD=，請你畫出圖形，并求∠BOC的度數．

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=70°，∠BOD=40°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=70°-40°=30°，
∵OD是∠AOC的平分線，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=10°；

（2）設∠BOC=α，
∴∠BOD=3∠BOC=3α，
依據題意，分兩種情況：
①當射線OC在∠AOB內部時，此時射線OD的位置只有兩種可能：
i）若射線OD在∠AOC內部，如圖2，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=2α，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，
∴α=14°，
∴∠BOC=14°；
ii）若射線OD在∠AOB外部，如圖3，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，
∴α=30°，
∴∠BOC=30°；
②當射線OD在∠AOB外部時，
依據題意，此時射線OC靠近射線OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD=∠AOC，
∴射線OD的位置也只有兩種可能：
i）若射線DO在∠AOB內部，如圖4，
則∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=4α，
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=4α，
∴AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，
∴α=10°，
∴∠BOC=10°
ii）若射線OD在∠AOB外部，如圖5，
則∠COD=∠BOC+∠DOB=4α，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，
∴α=42°，
∴∠BOC=42°，
綜上所述：∠BOC的度數分別是10°，14°，30°，42°．
分析：（1）根據角平分線的性質得出∠AOC=2∠AOD=60°，進而得出∠BOC=∠AOB-∠AOC即可；
（2）①當射線OC在∠AOB內部時，此時射線OD的位置只有兩種可能：i）若射線OD在∠AOC內部，ii）若射線OD在∠AOB外部，
②當射線OD在∠AOB外部時，i）若射線DO在∠AOB內部，ii）若射線OD在∠AOB外部分別求出即可．
點評：此題主要考查了角平分線的性質以及分類討論思想的應用，根據已知正確分射線OD在∠AOB外部或內部得出是解題關鍵．