Question

【題目】已知的內切圓與分別相切于點，若，如圖1.

(1)判斷的形狀，并證明你的結論；

(2)設與相交于點，如圖2，求的長.

Answer 1

【答案】（1）△ABC為等腰三角形，證明見解析；（2）AM= ．

【解析】

試題分析：（1）易證∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解題；

（2）連接OB、OC、OD、OF，易證AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根據AE長度即可解題．

試題解析：（1）△ABC為等腰三角形，

∵△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，

∵四邊形內角和為360°，∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，

∵ ，∴∠EOF=∠DOE，∴∠B=∠C，AB=AC，∴△ABC為等腰三角形；

（2）連接OB、OC、OD、OF，如圖，

∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中點，BE=CE，

∵在Rt△AOF和Rt△AOD中 ，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF=AD，

同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，∴AD=AF，BD=CF，

∴DF∥BC，∴ ，

∵AE= =4 ，∴AM=4×= ．