Question

（2006•臨沂）已知正方形ABCD．
（1）如圖1，E是AD上一點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G，交CD于點H，求證：BE=GH；
（2）如圖2，過正方形ABCD內任意一點作兩條互相垂直的直線，分別交AD，BC于點E，F，交AB，CD于點G，H，EF與GH相等嗎？請寫出你的結論；
（3）當點O在正方形ABCD的邊上或外部時，過點O作兩條互相垂直的直線，被正方形相對的兩邊（或它們的延長線）截得的兩條線段還相等嗎？其中一種情形如圖3所示，過正方形ABCD外一點O作互相垂直的兩條直線m，n，m與AD，BC的延長線分別交于點E，F，n與AB，DC的延長線分別交于點G，H，試就該圖形對你的結論加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過構建全等三角形來證明，過點A作GH的平行線，交DC于點H′，交BE于點O′．那么GH=AH′，要證明GH=BE只要證明三角形AH′D和三角形AEB全等即可．這兩個三角形中已知的條件有AD=AB，有一組直角，只要再求出一組對應角相等即可得出全等的結論，我們發現∠EAO′和∠ABE同為∠BEA的余角，因此∠EAO′=∠ABE，由此就構成了全等三角形判定中的ASA，所以兩三角形全等，那么就能得出BE=AH′=GH了；
（2）應該相等，作法同（1），只不過要作兩條輔助線，即過D作GH的平行線和過C作EF的平行線，證法和思路與（1）完全一樣，因此結果也一樣．
（3）也要通過構建全等三角形來證明，過點A作m的平行線交BC于點F′，過點D作n的平行線交AB于點G′．因此四邊形AF′FE是個平行四邊形，那么AF′=EF，同理GH=G′D，那么只要證明三角形AG′D和三角形ABF′全等即可，證明的過程和思路與（1）（2）都是一樣的．得出兩三角形全等后，自然EF=GH了．
解答：（1）證明：在圖1中，過點A作GH的平行線，交DC于點H′，交BE于點O'．
∵ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°．
∵GH⊥BE，AH′∥GH，
∴AH′⊥BE．
∴∠H′AD+∠BEA=90°．
∴∠BEA=∠AH′D．
在△BAE和△ADH′中，，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），
∴BE=AH′=GH；

（2）解：EF=GH，理由如下：
過E作EM⊥BC，過G作GN⊥CD，
∴∠EMF=∠GNH=90°，
又GH⊥EF，∴∠EOG=∠GOF=90°，
∴∠MEF+∠EQG=90°，∠NGH+∠EQG=90°，
∴∠MEF=∠NGH，又GN=EM，
∴△EMF≌△GNH，
∴EF=GH；

（3）解：相等．
證明：在圖3中，過點A作m的平行線交BC于點F′，過點D作n的平行線交AB于點G′．
則有EF=AF′，G′D=GH，
由（1）可知，Rt△ABF′≌Rt△DAG′，
∴AF′=DG′．
從而可證明EF=GH．
點評：本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定，本題中利用構建全等三角形來證明線段相等是解題的基本思想．