Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點F，交BC于點G，過點C的直線與ED的延長線交于點P，PC=PG．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）當點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若BG²=BF•BO．求證：點G是BC的中點；
（3）在滿足（2）的條件下，AB=10，ED=4，求BG的長．

Answer 1

（1）證明：連OC，如圖，
∵ED⊥AB，
∴∠FBG+∠FGB=90°，
又∵PC=PG，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，
∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；

（2）證明：連OG，如圖，
∵BG²=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，
而∠FBG=∠GBO，
∴△BGO∽△BFG，
∴∠OGB=∠BFG=90°，
即OG⊥BG，
∴BG=CG，即點G是BC的中點；

（3）解：連OE，如圖，
∵ED⊥AB，
∴FE=FD，
而AB=10，ED=4，
∴EF=2，OE=5，
在Rt△OEF中，OF===1，
∴BF=5-1=4，
∵BG²=BF•BO，
∴BG²=BF•BO=4×5，
∴BG=2．
分析：（1）連OC，由ED⊥AB得到∠FBG+∠FGB=90°，又PC=PD，則∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，即可得到∠1+∠4=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）連OG，由BG²=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，根據三角形相似的判定定理得到△BGO∽△BFG，由其性質得到∠OGB=∠BFG=90°，然后根據垂徑定理即可得到點G是BC的中點；
（3）連OE，由ED⊥AB，根據垂徑定理得到FE=FD，而AB=10，ED=4，得到EF=2，OE=5，在Rt△OEF中利用勾股定理可計算出OF，從而得到BF，然后根據BG²=BF•BO即可求出BG．
點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、勾股定理以及三角形相似的判定與性質．