Question

【題目】如圖，AB=AC，點O在AB上，⊙O過點B，分別與BC、AB交于D、E，過D作DF⊥AC于F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AC與⊙O相切于點G，⊙O的半徑為3，CF=1，求AC長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=8．

【解析】

（1）連接OD，由AB＝AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OB＝OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可確定出DF為圓O的切線；

（2）連接OG，由AC為圓O的切線，利用切線的性質得到OG垂直于AC，利用三個角為直角且鄰邊相等的四邊形為正方形得到ODFG為正方形，且邊長為3，設AB＝AC＝x，表示出OA與AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AC的長．

（1）連接OD，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

則DF為圓O的切線；

（2）連接OG，

∵AC與圓O相切，

∴OG⊥AC，

∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°，且OG=OD，

∴四邊形ODFG為邊長為3的正方形，

設AB=AC=x，則有AG=x﹣3﹣1=x﹣4，AO=x﹣3，

在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x﹣3）2=（x﹣4）2+32，

解得：x=8，

則AC=8．