Question

（1）如圖1，拋物線y=ax²（a≠0）的頂點為P，C、D是拋物線上的兩點，CA、DB分別垂直于x軸，垂足為A、B，且PA=AB，若點A的橫坐標為b，在直線PC上是否存在一點M，使得△MBD是以BD為底的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（2）如圖2，若將（1）中“拋物線y=ax²（a≠0）”改為“拋物線y=ax²-2amx+am²（a≠0）”，其他條件不變，試探究（1）中的問題．

Answer 1

解：（1）由題意，知：P（0，0），A（b，0），B（2b，0），C（b，ab²），D（2b，4ab²）；
設直線PC的解析式為：y=kx，則有：
bk=ab²，k=ab，
故直線PC：y=abx；
易知BD的中點為：（2b，2ab²），
當y=2ab²時，abx=2ab²，即x=2b；
故直線PC經過BD的中點，
所以在直線PC上不存在符合條件的M點．

（2）由于y=ax²-2amx+am²=a（x-m）²，同（1）可得：
P（m，0），A（b，0），B（2b-m，0），C（b，a（x-m）²），D（2b-m，4a（b-m）²）；
設直線PC的解析式為：y=kx+h，
則有：，
解得；
故直線PC：y=a（b-m）x-am（b-m）；
BD的中點為（2b-m，2a（b-m）²），
當y=2a（b-m）²時，a（b-m）x-am（b-m）=2a（b-m）²，x=2b-m；
即直線PC經過BD的中點，
故直線PC上不存在符合條件的M點．
分析：兩個小題的解法是一致的，首先根據A點坐標求出B點坐標，進而根據拋物線的解析式，求出C、D的坐標；然后利用待定系數法求得直線PC的解析式，如果△MBD是以BD為底的等腰三角形，那么點M的縱坐標必為D點縱坐標的一半，將其代入直線PC的解析式中進行求解即可．需要注意的是若直線BD與直線PC的交點為BD的中點時，點M是不符合題意的，因為此時D、B、M三點共線，不能構成三角形．
點評：此題主要考查了函數圖象上點的坐標意義、函數圖象交點坐標的求法、等腰三角形的判定和性質等知識，雖然大部分數據都是未知數，但是只要按照常規思維細心求解即可．