Question

【題目】結果如此巧合！

下面是小穎對一道題目的解答.

題目：如圖，的內切圓與斜邊相切于點，，，求的面積.

解：設的內切圓分別與、相切于點、，的長為.

根據切線長定理，得，，.

根據勾股定理，得.

整理，得.

所以

.

小穎發現恰好就是，即的面積等于與的積.這僅僅是巧合嗎?

請你幫她完成下面的探索.

已知：的內切圓與相切于點，，.

可以一般化嗎？

（1）若，求證：的面積等于.

倒過來思考呢？

（2）若，求證.改變一下條件……

（3）若，用、表示的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.（3）.

【解析】（1）設的內切圓分別與、相切于點、，的長為,仿照例題利用勾股定理得再根據即可得到=mn.

（2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得.

（3）過點作，垂足為,在中，，.所以, 在中根據勾股定理得,由此.

設的內切圓分別與、相切于點、，的長為.

根據切線長定理，得，，.

（1）如圖①，在中，根據勾股定理，得.

整理，得.

所以

.

（2）由，得.

整理，得.

所以

.

根據勾股定理的逆定理，得.

（3）如圖②，過點作，垂足為.

在中，，.

所以.

在中，根據勾股定理，得

.

整理，得.

所以

.