Question

將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α(0°＜α＜90°)，在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H.。
（1）當α=30°時（如圖②），求證：AG=DH；
（2）當α=60°時(如圖③)，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由。

Answer 1

證明：（1）∵∠A=∠ADM=30°
∴ AM=DM
∵∠BDC=90°-∠ADM=60°=∠B
∴ CD=CB
∵MG⊥AD，NH⊥DB
∴AG=，DH=
∵D是AB的中點
∴AD=DB
∴AG=DH
（2）結論成立
∵∠ADM=60°
∴∠BDN=30°
在△AMD和△DNB中
∵∠ADM=∠B，AD=DB，∠A=∠BDN
∴△AMD≌△DNB
∴AM=DN
∵ MG⊥AD，NH⊥DB
∴∠AGM=∠DHN=90°
∴△AGM≌△DHN
∴AG=DH