Question

拋物線與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為A（2，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q（8，m）在拋物線上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ+PB的最小值；
（3）以點M（4，0）為圓心、2為半徑，在x軸下方作半圓，CE是過點C的半圓的切線，E為切點，求OE所在直線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過點A（2，0）和C（0，2），則

解得；
∴所求拋物線的解析式為；

（2）如圖，拋物線對稱軸l是x=4，點B的坐標為B（6，0）
∵Q（8，m）拋物線上，
∴m=2
過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=
又∵B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=；

（3）連接EM和CM，設CE交x軸于點D
由已知，得EM=OC=2
∵CE是⊙M的切線，
∴∠DEM=90°，
則∠DEM=∠DOC=90°，
又∵∠ODC=∠EDM
故△DEM≌△DOC
∴OD=DE，CD=MD；
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC
則OE∥CM
設CM所在直線的解析式為y=kx+n，CM過點C（0，2），M（4，0），
∴，
解得；
直線CM的解析式為
又∵直線OE過原點O，且OE∥CM，
則直線OE的解析式為y=x．
分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值；
（2）根據拋物線的解析式即可求出點Q的坐標及拋物線的對稱軸方程；易知A、B關于拋物線的對稱軸對稱，若連接AQ，那么AQ與拋物線對稱軸的交點即為所求的P點，此時PQ+PB的最小值即為線段AQ的長，可過Q作x軸的垂線，根據勾股定理即可求出AQ的長；
（3）若CE切⊙M于E，則∠MED=∠COD=90°（D為CE與x軸的交點）；而ME=OC=2，即可證得△DEM≌△DOC，由此可得∠DOE、∠DEO、∠DCM、∠DMC都相等，即CM∥OE；可用待定系數法求出直線CM的解析式，然后將直線CM向下平移2個單位即可得到直線OE的解析式．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的應用、全等三角形的判定和性質以及切線的性質等知識，綜合性強，難度較大．