Question

△ABC是等邊三角形，點D是射線上BC上的一個動點（點D不與點B，C重合，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點F，G，連接BE．
（1）如圖1所示，當點D在線段BC上時：①求證：△AEB≌△ADC；②探究四邊形BCGE是哪種特殊的四邊形，并說明理由．
（2）探究四邊形BCGE是哪種特殊的四邊形，并說明理由．如圖2所示，當點D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用“邊角邊”證明△AEB和△ADC全等；根據全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠C=60°，再求出∠CBE+∠C=180°，根據同旁內角互補，兩直線平行判斷出BE∥CG，然后根據兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形解答；
（2）根據（1）的思路解答即可．

解答：（1）①證明：∵△ABC，△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
∵在△AEB和△ADC中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；

②四邊形BCGE是平行四邊形．理由如下：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°，
∴∠CBE+∠C=∠ABE+∠ABC+∠C=∠C+∠ABC+∠C=60°+60°+60°=180°，
∴BE∥CG，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）①②都成立．
①的證明與（1）中相同，
②的證明如下：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC，
∵BD∥FG，
∴∠BDE=∠DEG，
∴∠AEB+∠DEG=∠ADC+∠BDE=∠ADE=60°，
∴∠BEG+∠G=（∠AEB+∠DEG）+∠AED+∠G=60°+60°+60°=180°，
∴BE∥CG，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定，綜合性較強，難度較大，求出三角形全等是解題的關鍵．