Question

如圖，在坐標系中放置矩形ABOC，點B、C分別在x軸和y軸上，且BO=8，OC=6．其中D為線段BO上的一個動點，連接AD，過A作AD的垂線交y軸于F點，并以AF、AD為邊作矩形ADEF．
（1）求證：△ABD∽△AFC；
（2）連接EO．記EO與x軸的夾角為α（如圖），判斷當點D在BO上運動時，∠α的大小是否總保持不變？若∠α的大小不變，請求出tan∠α的值；若∠α的大小發生改變，請舉例說明．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=∠FAD=90°，
又∵∠FAC=90°-∠CAD；∠DAB=90°-∠CAD，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ABD=∠ACF=90°
∴Rt△ADB∽RtAFC；
（2）解：∠α的大小總保持不變．理由如下：
過E點作EG⊥x軸于G點，
∵∠BAD+ADB=90°，∠EDO+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠EDO，
又∵∠FAC=∠DAB，
∴∠FAC=∠EDO，
而∠ACF=∠EGD=90°，AF=ED，
∴RtAFC≌RtDEG，
∴DG=AC=BO，FC=EG，
∴GO=BD，
又由（1）得Rt△ADB∽RtAFC，
∴，
在Rt△EOG中，tan∠α=，
∴tan∠α===，
而BO=8，OC=6，
∴AB=6，AC=8，
∴tan∠α==，
∴∠α的大小總保持不變．
分析：（1）由∠BAC=∠FAD=90°，根據等角的余角相等得到∠FAC=∠DAB，然后根據相似三角形的判定即可得到結論；
（2）過E點作EG⊥x軸于G點，根據等角的余角相等得到∠BAD=∠EDO，而∠FAC=∠DAB，則∠FAC=∠EDO，又∠ACF=∠EGD=90°，AF=ED，根據等三角形的判定得到RtAFC≌RtDEG，DG=AC=BO，FC=EG，則GO=BD，由（1）得Rt△ADB∽RtAFC得到，在Rt△EOG中，根據正切的定義得到tan∠α=，代換得到tan∠α===，而BO=8，OC=6，則AB=6，AC=8，于是計算出tan∠α==，即∠α為定值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了全等三角形的判定與性質、矩形的性質以及銳角三角函數的定義．