Question

在△OAB中，O為坐標原點，橫、縱軸的單位長度相同，A、B的坐標分別為（8，6），（16，0），點P沿OA邊從點O開始向終點A運動，速度每秒1個單位，點Q沿BO邊從B點開始向終點O運動，速度每秒2個單位，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動時間，當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
求：（1）幾秒時PQ∥AB；
（2）設△OPQ的面積為y，求y與t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）由兩點間的距離公式求得AO=10，然后根據平行線PQ∥AB分線段成比例知

OP

OA

=

OQ

OB

，據此列出關于t的方程，并解方程；
（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．構造平行線PC∥AQ，根據平行線分線段成比例及三角形的面積公式求得關于y與t的函數關系式；

解答：解：（1）由已知得OA=

82+62

=10，
當PQ∥AB時，

OP

OA

=

OQ

OB

，
則：

t

10

=

16-2t

16

，得：t=

40

9

所以

40

9

秒時PQ∥AB；

（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．則

PC

AD

=

OP

OA

，

PC

6

=

t

10

，
∴PC=

3

5

t，y=

1

2

OQ，PC=

1

2

（16-2t），

3

5

t=-

3

5

t2+

24

5

t；
∴y=-

3

5

t2+

24

5

t；

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例及勾股定理的應用．解答此題的關鍵是通過作輔助線PC⊥OB，AD⊥OB構造平行線PC∥AQ，然后利用平行線分線段成比例來求出相關線段的長度．