Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，E為BC上一點，連接AE與OC交于點D，∠CAE=∠CBA．

（1）求證：AE⊥OC；

（2）若⊙O的半徑為5，AE的長為6，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=．

【解析】

（1）根據直角三角形的性質和垂直的定義即可得到結論；
（2）由△ACE∽△BCA，得到比例式，設AC=5x，CE=3x，由勾股定理求得AE=，再由三角形相似即可得到結果．

（1）證明：∵∠ACB=90°，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∵∠CAE=∠CBA，

∴∠CAE+∠CAB=90°，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠CAE+∠ACO=90°，

∴∠ADC=90°，

∴AE⊥OC；

（2）解：∵∠CAE=∠CBA，∠ACB=∠ACE，

∴△ACE∽△BCA，

∴==，

∴設AC=5x，CE=3x，

∴AE==x=6，

∴x=，

∴AC=，

∵∠CAE=∠CAD，∠ACE=∠ADC，

∴△ACD∽△AEC，

∴，

∴AD==．