Question

（2013•婺城區一模）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，有如下探討：

甲同學：我發現這種多邊形不一定是正多邊形．如圓內接矩形不一定是正方形．
乙同學：我知道，邊數為3時，它是正三角形；我想，邊數為5時，它可能也是正五邊形…
丙同學：我發現邊數為6時，它也不一定是正六邊形．如圖2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，這樣構造的六邊形ADBECF不是正六邊形．
（1）如圖1，若圓內接五邊形ABCDE的各內角均相等，則∠ABC=

108°

，請簡要說明圓內接五邊形ABCDE為正五邊形的理由．
（2）如圖2，請證明丙同學構造的六邊形各內角相等．
（3）根據以上探索過程，就問題“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”的結論與“邊數n（n≥3，n為整數）”的關系，提出你的猜想（不需證明）．

Answer 1

分析：（1）先根據多邊形內角和定理求出正五邊形的內角和，再求出各角的度數；根據同弧所對的圓周角相等，得出

BDE

=

CDA

，利用等式的性質，兩邊同時減去

CDE

即可得到

BC

=

AE

根據同弧所對的弦相等，得出DC=AE；
（2）由圖知∠AFC對

ABC

，由

CF

=

DA

，而∠DAF對的

DEF

=

DBC

+

CF

=

AD

+

DBC

=

ABC

，故可得出∠AFC=∠DAF．，同理可證，其余各角都等于∠AFC，由此即可得出結論；
（3）根據（1）、（2）的證明即可得出結論．

解答：解：（1）∵五邊形的內角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC=

540°

5

=108°，
理由：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A對著

BDE

，∠B對著

CDA

，
∴

BDE

=

CDA

，
∴

BDE

-

CDE

=

CDA

-

CDE

，即

BC

=

AE

，
∴BC=AE．
同理可證其余各邊都相等，
∴五邊形ABCDE是正五邊形；

（2）由圖知∠AFC對

ABC

，
∵

CF

=

DA

，而∠DAF對的

DEF

=

DBC

+

CF

=

AD

+

DBC

=

ABC

，
∴∠AFC=∠DAF．
同理可證，其余各角都等于∠AFC，
故圖2中六邊形各角相等；

（3）由（1）、（2）可知，當n（n≥3，n為整數）是奇數時，各內角都相等的圓內接多邊形是正多邊形；
當n（n≥3，n為整數）時偶數時，各內角都相等的圓內接多邊形不一定為正多邊形．

點評：本題考查的是正多邊形形和圓，熟知弧、圓心角、弦的關系是解答此題的關鍵．