Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點P的橫坐標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設△PBC的面積為S．求S關于t的函數表達式；并求S最大時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）在直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點M的坐標為（1，6）；（3）S＝﹣t2+t，當t ＝時，S有最大值，此時P（，）

【解析】

（1）把點A、B坐標代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系數法求解即可；

（2）先求出C、D坐標，假設直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，根據平行四邊形性質，求出點P坐標，進而求出點M坐標；

（3）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，求出直線BC解析式，表示出線段PF長，根據即可得到S關于t的函數解析式，再根據二次函數的性質即可求解．

解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

，解得：，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1．

當x＝0時，y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴點C的坐標為（0，3）．

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE＝PE，DE＝ME，

∵點C的橫坐標為0，點E的橫坐標為1，

∴點P的橫坐標t＝1×2﹣0＝2，

∴點P的坐標為（2，3），

∴點E的坐標為（1，3），

∴點M的坐標為（1，6）．

故在直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點M的坐標為（1，6）．

（3）在圖2中，過點P作PF∥y軸，交BC于點F．

設直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），

將B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．

∵點P的坐標為（t，﹣t2+2t+3），

∴點F的坐標為（t，﹣t+3），

∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，

∴ ，

∴當t ＝時，S有最大值，此時P（，）．