Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑長為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長線交AC于點D，聯結OA、OC．

（1）求證：△OAD∽△ABD；
（2）當△OCD是直角三角形時，求B、C兩點的距離；
（3）記△AOB、△AOD、△COD 的面積分別為S1、S2、S3 ， 如果S2是S1和S3的比例中項，求OD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC，

∴∠C=∠B，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，

∴△OAD∽△ABD

（2）

解：如圖2中，

∵BD⊥AC，OA=OC，

∴AD=DC，

∴BA=BC=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，

∴OD= OA= ，

∴AD= = ，

∴BC=AC=2AD=

（3）

解：如圖3中，作OH⊥AC于H，設OD=x．

∵△DAO∽△DBA，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴AD= ，AB= ，

∵S2是S1和S3的比例中項，

∴S22=S1S3，

∵S2= ADOH，S1=S△OAC= ACOH，S3= CDOH，

∴（ ADOH）2= ACOH CDOH，

∴AD2=ACCD，

∵AC=AB．CD=AC﹣AD= ﹣ ，

∴（ ）2= （ ﹣ ），

整理得x2+x﹣1=0，

解得x= 或 ，

經檢驗：x= 是分式方程的根，且符合題意，

∴OD=

【解析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可證明△OAD∽△ABD；（2）如圖2中，當△OCD是直角三角形時，可以證明△ABC是等邊三角形即可解決問題；（3）如圖3中，作OH⊥AC于H，設OD=x．想辦法用x表示AD、AB、CD，再證明AD2=ACCD，列出方程即可解決問題；