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【題目】1955年，印度數學家卡普耶卡（）研究了對四位自然數的一種變換：任給出四位數，用的四個數字由大到小重新排列成一個四位數，再減去它的反序數（即將的四個數字由小到大排列，規定反序后若左邊數字有0，則將0去掉運算，比如0001，計算時按1計算），得出數，然后繼續對重復上述變換，得數，…，如此進行下去，卡普耶卡發現，無論是多大的四位數，只要四個數字不全相同，最多進行次上述變換，就會出現變換前后相同的四位數，這個數稱為變換的核.則四位數9631的變換的核為______.

【答案】6174

【解析】

用9631的四個數字由大到小排列成一個四位數9631．則9631-1369=8262，用8262的四個數字由大到小重新排列成一個四位數8622．則8622-2268=6354，類似地進行上述變換，可知5次變換之后，此時開始停在一個數6174上．

解：用9631的四個數字由大到小排列成一個四位數9631．則9631-1369=8262，
用8262的四個數字由大到小重新排列成一個四位數8622．則8622-2268=6354，
用6354的四個數字由大到小重新排列成一個四位數6543．則6543-3456=3087，
用3087的四個數字由大到小重新排列成一個四位數8730．則8730-378=8352，
用8352的四個數字由大到小重新排列成一個四位數8532．則8532-2358=6174，
用6174的四個數字由大到小重新排列成一個四位數7641．則7641-1467=6174…
可知7次變換之后，四位數最后都會停在一個確定的數6174上．
故答案為：6174.

練習冊系列答案
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【題目】勾股定理是一個基本的幾何定理，早在我國西漢吋期算書《周髀算經》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數，這樣的直角三角形叫“整數直角三角形”；這三個整數叫做一組“勾股數”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股數．

（1）小李在研究勾股數時發現，某些整數直角三角形的斜邊能寫成兩個整數的平方和，有一條直角邊能寫成這兩個整數的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；請證明：m，n為正整數，且m＞n，若有一個直角三角形斜邊長為m2+n2，有一條直角長為m2﹣n2，則該直角三角形一定為“整數直角三角形”；

（2）有一個直角三角形兩直角邊長分別為和，斜邊長4，且a和b均為正整數，用含b的代數式表示a，并求出a和b的值；

（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均為正整數．證明：存在一個整數直角三角形，其斜邊長為c1c2．

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【題目】如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上．則sin∠EFG的值為________．

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（1）這次調查的學生為______人，圖2中，______，______.

（2）補全圖1中的條形統計圖.

（3）在圖2的扇形統計圖中，表示“C.玩網絡游戲”所在扇形的圓心角度數為______度.

（4）據統計，遼陽市七年級約有學生12000人，那么根據抽樣調查的結果，可估計零花錢用于“D.捐款”的學生約有______人.

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【題目】請認真觀察圖形，解答下列問題：

（1）根據圖中條件，用兩種方法表示兩個陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡）；

（2）由（1），你能得到怎樣的等量關系？請用等式表示；

（3）如果圖中的a，b（a＞b）滿足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．

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【題目】如圖，在中，為的中點，，.動點從點出發，沿方向以的速度向點運動；同時動點從點出發，沿方向以的速度向點運動，運動時間是秒.

（1）用含的代數式表示的長度.

（2）在運動過程中，是否存在某一時刻，使點位于線段的垂直平分線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

（4）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在邊長為的正方形四個角上，分別剪去大小相等的等腰直角三角形，當三角形的直角邊由小變大時，陰影部分的面積也隨之發生變化，它們的變化情況如下：

三角形的直角邊長/

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

陰影部分的面積/

398

392

382

368

350

302

272

200

（1）在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？

（2）請將上述表格補充完整；

（3）當等腰直角三角形的直角邊長由增加到時，陰影部分的面積是怎樣變化的？

（4）設等腰直角三角形的直角邊長為，圖中陰影部分的面積為，寫出與的關系式.

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（2）根據該校的實際情況，需從體育用品商店一次性購買排球和籃球共100個，要求購買排球和籃球的總費用不超過6500元，這所中學最多可以購買多少個籃球？

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