Question

如圖是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的一個示意圖，橫斷面的地平線為x 軸，橫斷面的對稱軸為y 軸，橋拱的D′GD 部分為一段拋物線，頂點G 的高度為8米，AD 和AD′是兩側高為5.5米的立柱，OA 和OA′為兩個方向的汽車通行區，寬都為15米，線段CD 和CD′為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1∶4．（1）求橋拱DGD′所在拋物線的解析式及CC′的長．（2）BE 和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的AB 和A′B′為兩個方向的行人及非機動車通行區，試求AB 和A′B′的寬．（3）按規定，汽車通過橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不可小于0.4米，今有一大型運貨汽車，裝載上大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離為7米，它能否從OA（OA′）安全通過？請說明理由．

Answer 1

【分析】欲求函數的解析式，關鍵是求出三個獨立的點的坐標，然后由待定系數法求之．所以關鍵是由題中線段的長度計算出D、G、D′的坐標，當然也可由對稱軸x＝0解之．

至于求CC′、AB、A′B′的數值，則關鍵是由坡度的定義求解之；到底能否安全通過，則只需在拋物線的解析式中令x＝4，求出相應的y 值，即可作出明確的判斷．

【解】（1）由題意和拋物線的對稱軸是x＝0，可設拋物線的解析式為y＝ax²＋c．

由題意得G（0，8），D（15，5.5）

∴ 

∴ 

∴  y＝＋8．

又  ＝且AD＝5.5，

∴  AC＝5.5×4＝22（米）．

∴  CC′＝2C＝2×（OA＋AC）＝2×（15＋22）＝74（米）．

∴  CC′的長是74米．

（2）∵  ＝，BE＝4，

∴  BC＝16．

∴  AB＝AC－BC＝22－16＝6（米）．

A′B′＝AB＝6（米）．

（3）此大型貨車可以從OA（OA′）區域安全通過．

在y＝＋8中，當x＝4時，y＝－×16＋8＝，而

－（7＋0.4）＝＞0，

∴  可以從OA 區域安全通過．