Question

如圖，已知直線l經過點A(1，0)，與雙曲線y＝(x＞0)交于點B(2，1)．過點P(a，a－1)
(a＞1)作x軸的平行線分別交雙曲線y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于點M、N．
(1)求m的值和直線l的解析式；
(2)若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA．

Answer 1

解：(1)由點B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。    
          設直線l的解析式為，由點A(1，0)，點B(2，1)在上，得

                     ， ，解之，得
∴所求直線l的解析式為 。    
(2) 點P(a，a－1)(a＞1)在直線y＝2上， ∴P(3，2)
∴ P在直線l上，是直線y＝2和l的交點，         
∴根據條件得各點坐標為N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。
∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，
AP＝， BP＝       
∴            
在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA
∴  △PMB∽△PNA。          

（1）把點B坐標代入反比例函數，即可得m的值，把點A、B的坐標代入一次函數解析式，用待定系數法可求得直線解析式；
（2）兩條對應邊對應成比例，并且這兩條邊的夾角相等，可以判定兩個三角形相似。